4 ο φυλλάδιο νισοτικές σχέσεις (τριωνική νισότητ) (Version 10-7-016) 3.1 Θεώρημ Κάθε πλευρά τριώνου είνι μικρότερη πό το άθροισμ των δύο άλλων κι μελύτερη πό τη διφορά τους. Απόδειξη: Έστω τρίωνο ΑΒΓ. Θ ποδείξουμε ρχικά ότι < β +. Γι' υτό προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ, προς το Α κτά τμήμ ΑΔ = ΑΓ. Τότε το τρίωνο ΑΓΔ είνι ισοσκελές οπότε =Γ ˆ ˆ 1 (1). Η ΓΑ είνι εσωτερική ημιευθεί της ωνίς ΒΓ ˆ, οπότε Γ ˆ ˆ 1 < ΒΓ (). Από (1) κι () πίρνουμε ˆ < ΒΓ ˆ, πό την οποί σύμφων με το θεώρημ της 3.11 προκύπτει ότι ΒΓ < ΒΔ ΒΓ < Β ΒΓ < ΒΑ + Α < + β < β + Όμοι συμπερίνουμε ότι β < + κι < + β. Από τις νισότητες υτές, ντίστοιχ προκύπτει ότι > β -,ν β ή > - β, ν β, δηλδή κι στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. Επομένως: Πόρισμ β < < β +, β Κάθε χορδή κύκλου είνι μικρότερη ή ίση της διμέτρου. Κ. Γι το τρίωνο του πρκάτω σχήμτος ισχύει:. = 7 β. =1. 1<<7 δ.>7 ε. 0<<1 Κυκλώστε το ράμμ της σωστής πάντησης κι ιτιολοήστε την πάντησή σς. Απάντηση: Aπό την τριωνική νισότητ 4 3< < 4+ 3 1< < 7 Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 1
3 Κ3. Υπάρχει τρίωνο ΑΒΓ με = κι β = ; Δικιολοήστε την πάντησή σς. 3 5 Απάντηση: 3 Από την = συμπερίνω ότι < κι πό την β = προκύπτει ότι β<. 3 5 Αρ η είνι η μελύτερη πλευρά του τριώνου οπότε πρέπει: < + β. 3 5 9 14 + β = + = + = < 3 5 15 15 15 Αρ δεν υπάρχει τρίωνο με δοσμένες πλευρές πλευρές. Εφρμοή 1 η ii) Αν Μ είνι έν εσωτερικό σημείο ενός τριώνου ΑΒΓ, ν ποδειχθεί ότι: ΒΜ + ΜΓ < ΒΑ + ΑΓ Eστω Δ το σημείο τομής της προέκτσης του ΒΜ με την ΑΓ. Με εφρμοή της τριωνικής νισότητς στο τρίωνο ΑΒΔ ΒΔ<ΒΑ+ΑΔ ΒΜ+ΜΔ<ΒΑ+ΑΔ (1) Με εφρμοή της τριωνικής νισότητς στο τρίωνο ΔΜΓ ΜΓ<ΜΔ+ΔΓ () Προσθέτοντς κτά μέλη τις σχέσεις (1) κι () βρίσκουμε: ΒΜ + Μ + ΜΓ < ΒΑ + Α + Μ + Γ ΒΜ + ΜΓ < ΒΑ + Α + Γ ΒΜ + ΜΓ < ΒΑ + ΑΓ Ε10. Οι κωμοπόλεις Κ1, Κ, Κ3 πέχουν πό τη πόλη Π (πρκάτω σχήμ), ποστάσεις 7, 6 κι 10 km ντίστοιχ. Έν υτοκίνητο ξεκινάει πό την κωμόπολη Κ1 κι κολουθώντς τη διδρομή Κ1ΚΚ3Κ1 επιστρέφει στην Κ1. Ο χιλιομετρητής του ράφει ότι ι υτή τη διδρομή διήνυσε πόστση 48 km. Είνι υτό δυντόν; Δικιολοήστε την πάντησή σς. Mε εφρμοή της τριωνικής νισότητς στ τρίων ΠΚ1Κ, ΠΚ1Κ3, ΠΚΚ3 πίρνουμε ντίστοιχ: ΚΚ < ΚΠ+ ΠΚ ΚΚ < 7 + 6 Κ Κ < 13 1 1 1 1 ΚΚ <ΚΠ+ΠΚ ΚΚ < 6 + 10 ΚΚ < 16 3 3 3 3 ΚΚ < ΚΠ+ΠΚ ΚΚ < 7 + 10 ΚΚ < 17 1 3 1 3 1 3 1 3 Προσθέτοντς υτές τις νισότητες κτά μέλη βρίσκουμε: ΚΚ + ΚΚ + ΚΚ < 13 + 16 + 17 ΚΚ + ΚΚ + ΚΚ < 46 1 3 1 3 1 3 1 3 Επομένως ο χιλιομετρητής θ έπρεπε ν ράψει πόστση μικρότερη του 46 κι όχι 48. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Α3. Δίνετι τρίωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ κι η διάμεσος ΑΜ.Ν ποδείξετε ότι: i) ΒΑΜ ˆ > ΜΑΓ ˆ, ii) β β + < µ < iii) µ < τ β Προεκτείνουμε την διάμεσο κτά ΜΑ = ΑΜ κι φέρνω κι την ΑΓ. Τ τρίωνο ΑΜΒ κι Α ΜΓ έχουν ΜΑ = ΑΜ ΒΜ = ΜΓ είνι ίσ οπότε ΑΒ = ΓΑ κι ΒΑΜ ˆ = ΜΑˆ Γ ˆ ˆ Μ =Μ 1 i) Αφού μς δίνετι ΑΓ>ΑΒ κι ΑΒ = ΓΑ θ είνι ΑΓ > ΓΑ οπότε τρίωνο Α ΓΑ πό το 3.11 Θεώρημ ΜΑˆ Γ > ΜΑΓ ˆ πό την οποί προκύπτει λόω της ΒΑΜ ˆ = ΜΑˆ Γ ότι ΒΑΜ ˆ > ΜΑΓ ˆ ii) Με εφρμοή της τριωνικής νισότητς στο τρίωνο Α ΓΑ πίρνουμε: ΑΓ ΓΑ < ΑΑ < ΑΓ + ΓΑ ΑΓ ΑΒ < ΑΑ < ΑΓ + ΑΒ β < µ < β + β µ β + β β + < < < µ < iii) Σύμφων με το ii) β + + + β µ <, µ β <, µ < κι με πρόσθεση κτά μέλη πίρνουμε: β + + + β µ β < + + µ β < + β + µ β < τ Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
Α4. Έστω κύκλος (Ο,R) διμέτρου ΑΒ κι σημείο Σ της ημιευθείς ΟΑ. Γι κάθε σημείο Μ του κύκλου ν ποδειχθεί ότι ΣΑ ΣΜ ΣΒ. (Το τμήμ ΣΑ λέετι πόστση του Σ πό τον κύκλο). Αφού το Σ είνι εξωτερικό σημείο του κύκλου ισχύει ΣΟ>κτίν του κύκλου οπότε ΣΟ>ΟΜ. Αν τ Σ,Ο, Μ δεν είνι συνευθεικά, με εφρμοή της τριωνικής νισότητς στο τρίωνο ΣΟΜ ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΜΟ ΣΟ ΟΑ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΒ ΣΑ < ΣΜ < ΣΒ Αν Μ Ατότε: ΣΑ = ΣΜ < ΣΒ Αν Μ Βτότε: ΣΑ < ΣΜ = ΣΒ Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4η Δίνετι μι ευθεί ε, δύο σημεί Α,Β προς το ίδιο μέρος της.αν πάρουμε διάφορ σημεί Μ1, Μ, Μ3,...πάνω στην ε, τότε το άθροισμ των ποστάσεών τους πό τ Α κι Β ΜΑ+ΜΒ i i πίρνει διάφορες τιμές. Γι ποιά θέση του Μ το άθροισμ ΜΑ+ΜΒ πίρνει τη μικρότερή του τιμή; Φέρνουμε το συμμετρικό Α' του Α ως προς την ε. Τότε η ε είνι μεσοκάθετη του ΑΑ, οπότε ΜΑ = ΜΑ κι επομένως ΜΑ + ΜΒ = ΜΑ + ΜΒ (1). Αν το Μ δεν είνι σημείο του τμήμτος ΑΒ, πό το τρίωνο ΜΑ Β (τριωνική νισότητ) ΜΑ + ΜΒ > Α Β (). Αν το Μ είνι σημείο του τμήμτος ΑΒ ΜΑ + ΜΒ = Α Β (3) Aρ σε κάθε περίπτωση (συνδιάζοντς τις () κι (3)) ισχύει: ΜΑ + ΜΒ Α Β οπότε λόω της (1) ΜΑ + ΜΒ Α Β Αρ η μικρότερη τιμή που μπορεί ν πάρει το ΜΑ + ΜΒ είνι ΑΒ κι υτή επιτυχάνετι ότν το Μ είνι το σημείο τομής της ΑΒ με την ευθεί ε. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
Σ1. Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ κι Ο εσωτερικό σημείο του. i) Ν ποδείξετε ότι: OA+OB+ΟΓ+ΟΔ > AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ ii) Γι ποι θέση του Ο το άθροισμ ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΔ ίνετι ελάχιστο; i) Mε εφρμοή της τριωνικής νισότητς στ τρίων ΑΟΒ, ΒΟΓ, ΓΟΔ κι ΔΟΑ πίρνουμε ντίστοιχ: AB<OA+OB, ΒΓ<ΟΒ+ΟΓ, ΓΔ<ΟΓ+ΟΔ, κι ΑΔ<ΟΑ+ΟΔ, πό τις οποίες με πρόσθεση κτά μέλη προκύπτει: AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ<OA+OB+ΟΒ+ΟΓ+ΟΓ+ΟΔ+ΟΔ+ΟΑ AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ<OA+OB+ΟΓ+ΟΔ ( ) AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ< OA+OB+ΟΓ+ΟΔ AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ <OA+OB+ΟΓ+ΟΔ AB+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ OA+OB+ΟΓ+ΟΔ> ii) Αν το Ο δεν είνι σημείο της ΑΓ, πό το τρίωνο ΑΟΓ προκύπτει ότι : ΟΑ + ΟΓ > ΑΓ κι ν το Ο είνι σημείο της διωνίου ΑΓ θ είνι ΟΑ + ΟΓ = ΑΓ.Αρ σε κάθε περίπτωση ισχύει ΟΑ + ΟΓ ΑΓ (1) κι το άθροισμ ΟΑ + ΟΓ ίνετι ελάχιστο ότν ίνετι ίσο με ΑΓ το οποίο συμβίνει ότν Ο σημείο της ΑΓ. Αν το Ο δεν είνι σημείο της ΒΔ, πό το τρίωνο ΒΟΔ προκύπτει ότι : ΟΒ + Ο > Β κι ν το Ο είνι σημείο της διωνίου ΒΔ θ είνι ΟΒ + Ο = Β.Αρ σε κάθε περίπτωση ισχύει ΟΒ + Ο Β () κι το άθροισμ ΟΒ + Ο ίνετι ελάχιστο ότν ίνετι ίσο με ΒΔ το οποίο συμβίνει ότν Ο σημείο της ΒΔ. Αθροίζοντς τις (1) κι () ΟΑ+ΟΓ+ΟΒ+Ο ΑΓ+Β ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ+Ο ΑΓ+Β δηλδή η ελάχιστη τιμή του ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + Ο είνι ΑΓ + Β κι συμβίνει ότν το Ο είνι σημείο της ΑΓ κι της ΒΔ δηλδή ότν το Ο είνι σημείο τομής των διωνίων Ο Κ Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
Σ. Σε τρίωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ) προεκτείνουμε τις πλευρές ΒΑ κι ΓΑ προς το μέρος του Α κτά τμήμτ ΑΔ=ΑΓ κι ΑΕ=ΑΒ ντίστοιχ.η ευθεί ΔΕ τέμνει την ευθεί ΒΓ στο σημείο Μ.Ν ποδείξετε ότι: i) το τρίωνο ΜΒΕ είνι ισοσκελές, ii) η διχοτόμος της ΒΜΕ διέρχετι πό το σημείο Α. xc Σ3. Έστω Ο το σημείο τομής των διωνίων ενός κυρτού τετρπλεύρου ΑΒΓΔ. Ν ποδείξετε ότι: i) κάθε διώνιος είνι μικρότερη της ημιπεριμέτρου του τετρπλεύρου, ii) ΑΓ+ΒΔ>ΑΒ+ΓΔ κι ΑΓ+ΒΔ>ΑΔ +ΒΓ, iii) το άθροισμ των διωνίων είνι μελύτερο της ημιπεριμέτρου του τετρπλεύρου κι μικρότερο της περιμέτρου του τετρπλεύρου. i) Στο τρίωνο ΑΒΓ πό την τριωνική νισότητ ΑΓ<ΑΒ+ΒΓ Στο τρίωνο ΑΔΓ πό την τριωνική νισότητ ΑΓ<ΑΔ+ΔΓ Αθροίζοντς κτά μέλη τις (1) κι () ΑΓ+ΑΓ<ΑΒ+ΒΓ+ΑΔ+ΔΓ ΑΓ < τ ΑΓ < τ όπου με τ συμβολίζουμε την ημιπερίμετρο του τετρπλεύρου κι με τ την περίμετρό του. ii) Στο τρίωνο ΑΟΒ πό την τριωνική νισότητ AO+OB>AB (3) Στο τρίωνο ΔΟΓ πό την τριωνική νισότητ ΔΟ+OΓ>ΔΓ (4) Προσθέτοντς κτά μέλη τις (3) κι (4) προκύπτει: ΑΟ+ΟΒ+ΔΟ+ΟΓ>ΑΒ+ΔΕ ΑΟ+ ΟΓ+ΟΒ+ΔΟ+ >ΑΒ+ΔΕ ΑΓ+ΒΔ >ΑΒ+ΔΕ (5) Στο τρίωνο ΑΟΔ πό την τριωνική νισότητ AO+OΔ>AΔ (6) Στο τρίωνο ΒΟΓ πό την τριωνική νισότητ ΒΟ+OΓ>ΒΓ (7) Προσθέτοντς κτά μέλη προκύπτει: Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7
ΑΟ+ΟΔ+ΒΟ+ΟΓ>ΑΔ+ΒΓ ΑΟ+ ΟΓ+ΒΟ+ΟΔ >ΑΔ+ΒΓ ΑΓ+ΒΔ >ΑΔ+ΒΓ (8) Προσθέτοντς κτά μέλη τις (5) κι (8) iii) ΑΓ+ Β >ΑΒ+ΒΓ+Γ + Α ( ) ΑΒ+ΒΓ+Γ + Α ΑΓ + Β >. ΑΓ+Β >ΑΒ+ΒΓ+Γ + Α Σχόλιο 3.1 Γενικότερ ισχύειτο ευθύρμμο τμήμ ΑΒ είνι μικρότερο πό κάθε τεθλσμένη.0 ρμμή που έχει άκρ τ Α κι Β. Σ4. Στο εσωτερικό ορθής ωνίς xôy θεωρούμε σημείο Γ κι στις πλευρές της Οχ, Oy τ σημεί Α, Β ντίστοιχ. Ν ποδείξετε ότι η περίμετρος του τριώνου ΑΒΓ είνι μελύτερη πό ΟΓ. Σκέψη: Σκεφτόμστε πως μπορούμε ν δημιουρήσουμε έν τμήμ ίσο με ΟΓ. Μι ιδέ είνι υτή του βιβλίου ν δημιουρήσει δύο «ντίρφ» του ΟΓ με κοινό άκρο το Ο κι ν δείξει ότι είνι συνευθεικά. Μι άλλη ιδέ, η πιο υθόρμητη κι πιο πλή είνι ν προεκτείνουμε το ΓΟ κι ν πάρουμε σημείο Γ ώστε Γ Ο=ΟΓ. Προσπθούσ ν δώ ιτί μι τέτοι ιδέ δεν θ ήτν ποτελεσμτική (φού δεν την χρησιμοποιεί το σχολικό) λλά κτέληξ κριβώς στο ντίθετο.κι λύση δίνει που είνι μάλιστ κι πιο πλή. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 8
1 Η Λύση σχολικού Από το Γ φέρνουμε την κάθετη στην Οx, που την τέμνει στο σημεί Δ κι πίρνουμε τμήμ Γ Δ=ΓΔ (το Γ λέετι συμμετρικό του Γ ως προς Οx). Aφού η Οx μεσοκάθετος του ΓΓ ισχύει ΑΓ =ΑΓ= κι ΟΓ =ΟΓ. Από το Γ φέρνουμε την κάθετη στην Οy, που την τέμνει στο σημείo Ε κι πίρνουμε τμήμ Γ Ε=ΓΕ (το Γ λέετι συμμετρικό του Γ ως προς Οy). Aφού η Οx μεσοκάθετος του ΓΓ ισχύει ΒΓ =ΒΓ= κι ΟΓ =ΟΓ. Θ δείξουμε ότι η Γ ΟΓ ˆ είνι ευθεί.γι υτό ρκεί ν δείξουμε ότι Γ ΟΓ ˆ = 180 Στο ισοσκελές τρίωνο Γ ΟΓ το ύψος ΟΔ είνι κι διχοτόμος άρ Ο ˆ ˆ 1 =Ο Στο ισοσκελές τρίωνο Γ ΟΓ το ύψος ΟΕ είνι κι διχοτόμος άρ Ο ˆ ˆ 3 =Ο 4 Οπότε: ( ) ΓΟΓ ˆ =Ο ˆ +Ο ˆ +Ο ˆ +Ο ˆ = Ο ˆ + Ο ˆ == Ο ˆ +Ο ˆ = 90 = 180 1 3 4 3 3 Αρ το ΓΓ είνι ευθύρμμο τμήμ. Από σχόλιο του σχολικού βιβλίου 3.1 νωίζουμε ότι: «Γενικότερ ισχύει το ευθύρμμο τμήμ ΑΒ είνι μικρότερο πό κάθε τεθλσμένη ρμμή που έχει άκρ τ Α κι Β.» Αρ Η Λύση Γ Γ <Γ Β+ΒΑ+ΑΓ =ΓΒ+ΒΑ+ΑΓ= Πίρνουμε το συμμετρικό Γ του Γ ως προς Ο κθώς κι το συμμετρικό Α του Α ως προς Ο. Είνι ΓΓ = ΟΓ κι Α Β = ΑΒ (το τρίωνο Α ΒΑ είνι ισοσκελές φού το ύψος είνι κι διάμεσος. περίμετρος του ΑΒΓ Επίσης Α Β = ΑΒ φού τ τρίων Α ΟΓ κι ΑΟΓ είνι ίσ (ΠΓΠ). Αρ πό το σχόλιο του σχολικού βιβλίου 3.10 ΓΓ<ΓΑ +ΑΒ+ΒΑ=ΓΑ+ΒΑ+ΓΑ= περίμετρος του ΑΒΓ Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 9